Урок по теме"Первообразная"

Тема урока: «Правила нахождения первообразных»

Цели урока:

1)      вспомнить правила нахождения первообразных;

2)      научиться распознавать ситуации применения соответствующего правила нахождения первообразных;

3)      выявить трудности, которые возникли у учащихся при нахождении первообразных;

4)      из множества  первообразных научиться находить ту, график которой проходит через данную точку, и выявить трудности, которые возникли у учащихся при выполнении этого вида заданий.

Тип  урока: совершенствования  умений.

План урока:

1. Актуализация знаний о правилах вычисления первообразной через распознавание этих правил по формуле заданной функции.
2. Самостоятельная работа по нахождению общего вида первообразных с предварительным обсуждением возможных затруднений учащихся.
3. Нахождение первообразной, график которой проходит через данную точку.
4. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.

 

Ход  урока:

1. Актуализация  знаний о правилах вычисления первообразной через распознавание этих правил по формуле заданной функции.

Учитель: На прошлом уроке мы рассматривали правила нахождения первообразных.

Обратите  внимание: на  доске записаны некоторые  функции:

1) f(x) = ½ x – 2;               2) f(x) = 2cosx ;           3) f(x) = 8 – 5x + 10х² ;           4) f(x) = x + 3;

5) f(x) = (4 – 3х)⁹;             6) f(x) = -4sin3x;         7) f(x) = 12 + 15x;                  8) f(x) = 4x; 9) f(x) = x – 2 + х²

Назовите  номера тех  примеров, первообразная  которых находится только по одному из правил:

а) по правилу суммы;

б) по правилу умножения на постоянный множитель;

в) по правилу сложной функции.

И почему? Поясните свой ответ.

Учащиеся: а) Только по первому правилу находятся первообразные функций № 4 и № 9, так как здесь  встречается  только сумма или разность табличных функций. (Учащиеся называют ответы).

б) Только по второму правилу находятся первообразные функций № 2 и № 8, так как табличные функции умножаются на некоторое число. (Учащиеся называют ответы).

в) Только по третьему правилу находятся первообразные функций № 1 и № 5, так как данные функции являются сложными, а внутренние функции – линейные. (Учащиеся называют ответы).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером три?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по первому, и по второму правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером шесть?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по второму, и по третьему правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером семь?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по первому, и по второму правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: Итак, давайте ещё раз вспомним, в каких случаях решаем по первому правилу?

Учащиеся: Если встречаются сумма или разность функций.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Первообразная суммы (разности) равна сумме (разности) первообразных.

Учитель: В каких случаях решаем по второму правилу?

Учащиеся: Когда функция умножается на некоторое число.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Если функция умножается на некоторое число, то и её первообразная умножается на это число.

Учитель: В каких случаях решаем по третьему правилу?

Учащиеся: Когда дана сложная функция, а ее внутренняя функция является линейной.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Первообразная сложной функции, внутренняя функция которой является линейной, равна первообразной внешней функции, делённой на коэффициент линейной функции (коэффициент перед аргументом х).

2.  Самостоятельная  работа по нахождению общего вида первообразных с предварительным обсуждением возможных затруднений учащихся.

Учитель: На доске записаны примеры:

1) f(x) = x² – cosx;             2) f(x) = -3;                 3) f(x) = 10 sinx;         4) f(x) = -2sin4x;

5) f(x) = 5x⁴ + x² – ;    6) f(x) = (3x – 1)²;       7) f(x) =.

Ваша задача самостоятельно найти общий вид первообразных данных функций и выявить для себя, где вы затрудняетесь, т.к. после этого будет самостоятельная работа.

Учащиеся:

1) F(x) = x³/3 – sinx + C;             2) F(x) = -3x + C;       3) F(x) = -10cosx + C;            4) F(x) = ½ cos4x + C;

5) F(x) = x⁵ + x³/3 – 2;           6) F(x) = (3x – 1)³/9 + C;       7) F(x) = /3 + C.

Обсуждаются  трудности, которые возникли у учащихся в ходе решения данного вида задания. Многие учащиеся не обратили внимание на формулировку задания: найти общий вид первообразных. Были ошибки и со знаками. В связи с этим повторялись способы самопроверки с помощью производной.

 

Учитель: А теперь проведём небольшую самостоятельную работу на 10 минут по карточкам.

Общее задание: Найдите все первообразные функций.

Вариант-1:                                              Вариант-2:

1)      у = 2;                                                  1) у = -3;

2)      у = x – 2;                                            2) у = 2x – 4;

3)      у = 3x³+4x³;                                       3) у =6x⁵ + 8x;

4)      у = -5x + 3;                                        4) у = x + 9;

5)      у =1/x² – 2x;                                       5) у = 1/x³ – 12x¹¹;

6)      у = 8(11 – 3x)⁵;                                             6) у = 7(4 – 7x)⁶;

7)      у = 3(1 – 4x);                                     7) у = 2(4x + 1);

8)      у = cos(3x – 4);                                  8) у = sin(5x – 7);

9)      у = 6/(5x – 7 )²;                                  9) у = 4/(9x + 3)⁴;

10) у = 4/sin²(10 – 5x).                            10) у = 3/cos²5x.

 

3. Нахождение первообразной, график которой проходит через данную точку.

 

Учитель: Теперь наша задача разобраться, умеем ли мы решать более сложные задания. Откройте учебники и посмотрите № 345 и № 347. Что требуется в этих заданиях?

Учащиеся: Для функции f найти первообразную, график которой проходит через точку М.

Учитель: Как  решаются  задания данного вида?

Учащиеся:

1)      находим общий вид первообразных;

2)      находим С, используя координаты заданной точки;

3)      записываем ответ: искомую первообразную.

Учитель: Чем отличаются сегодняшние задания от тех, которые мы выполняли раньше?

Учащиеся: В данных заданиях для нахождения первообразной надо применять правила.

Учитель: Поднимите руку, кто может выполнить эти задания самостоятельно. Проверьте потом себя, сверив свои решения с нашими.

Итак, задание (а) №345 решаем у доски (один человек у доски), проговаривая каждый шаг.

Учащиеся: а) f(x) = 4x + 1/x², M(-1; 4).

1) F(x) – ?

F(x) = 2x²– 1/x + C.

2) C – ?

4 = 3 + C, C = 1

3) Ответ: F(x) = 2х² – 1/х + 1.

Учитель: Далее выполняем №345(б) и №347 (двое учеников без комментариев выполняют задания у доски).

Учитель: Теперь давайте подведём итог. Какой вид задания выполняли?

Учащиеся: Задания, в которых требовалось найти первообразную, график которой проходит через заданную точку.

Учитель: Как выполняются задания данного вида?

Учащиеся:

1)      находим общий вид первообразных;

2)      находим С, используя координаты заданной точки;

3)      записываем ответ: искомую первообразную.

Учитель: Кто выполнял задания самостоятельно и не допустил ошибок? (учащиеся поднимают руки). У кого были ошибки при самостоятельной работе? В чем ошиблись? (учащиеся перечисляют). Что надо делать, чтобы избежать в будущем подобных ошибок? (учащиеся дают советы самим себе или друг другу). Кто не смог без помощи доски выполнить задание? В чем были трудности? Что делать, чтобы их преодолеть?

4. Постановка  домашнего  задания и подведение  итогов  урока.

Учитель: Посмотрите № 345(в, г), № 346. Есть ли вопросы по их выполнению? (пауза). Вы видите, что данные функции не такие простые. Как будете себя контролировать при нахождении первообразных? (Учащиеся: с помощью производных). Есть ли функции, которые надо перед нахождением первообразной каким-то образом преобразовать? (учащиеся выделяют случаи, когда требуется использовать определение степени с отрицательным целым показателем, некоторые называют и те случаи, когда используется определение степени с дробным показателем).

Учитель: Просмотрите задания сегодняшнего урока, с какими видами заданий работали?

Учащиеся: Когда требуется применение нескольких правил; когда требуется найти общий вид первообразных; когда требуется найти первообразную, график которой проходит через заданную точку.

Учитель: Кто чувствует, что распознает, по какому правилу нужно находить первообразную? (учащиеся поднимают руки). Что справится с более сложными заданиями? (учащиеся поднимают руки). В каких заданиях нужно потренироваться? (учащиеся называют свои задания).

Проверить свои итоги урока вы можете при решении домашнего задания.

 

 

 

 

 

 

 

Найдите все первообразные функций.

Вариант-1:                                             Вариант-2:

1.      у = 2;                                                  1) у = -3;

2.      у = x – 2;                                            2) у = 2x – 4;

3.      у = 3x³+4x³;                                       3) у =6x⁵ + 8x;

4.      у = -5x + 3;                                        4) у = x + 9;

5.      у =1/x² – 2x;                                       5) у = 1/x³ – 12x¹¹;

6.      у = 8(11 – 3x)⁵;                                             6) у = 7(4 – 7x)⁶;

7.      у = 3(1 – 4x);                                     7) у = 2(4x + 1);

8.      у = cos(3x – 4);                                  8) у = sin(5x – 7);

9.      у = 6/(5x – 7 )²;                                  9) у = 4/(9x + 3)⁴;

10. у = 4/sin²(10 – 5x).                             10) у = 3/cos²5x.

 

Найдите все первообразные функций.

Вариант-1:                                             Вариант-2:

1.      у = 2;                                            1) у = -3;

2.      у = x – 2;                                      2) у = 2x – 4;

3.      у = 3x³+4x³;                                 3) у =6x⁵ + 8x;

4.      у = -5x + 3;                                  4) у = x + 9;

5.      у =1/x² – 2x;                                 5) у = 1/x³ – 12x¹¹;

6.      у = 8(11 – 3x)⁵;                                     6) у = 7(4 – 7x)⁶;

7.      у = 3(1 – 4x);                               7) у = 2(4x + 1);

8.      у = cos(3x – 4);                            8) у = sin(5x – 7);

9.      у = 6/(5x – 7 )²;                            9) у = 4/(9x + 3)⁴;

     10. у = 4/sin²(10 – 5x).                        10) у = 3/cos²5x.

Найдите все первообразные функций.

Вариант-1:                                             Вариант-2:

1.      у = 2;                                            1) у = -3;

2.      у = x – 2;                                      2) у = 2x – 4;

3.      у = 3x³+4x³;                                 3) у =6x⁵ + 8x;

4.      у = -5x + 3;                                  4) у = x + 9;

5.      у =1/x² – 2x;                                 5) у = 1/x³ – 12x¹¹;

6.      у = 8(11 – 3x)⁵;                                     6) у = 7(4 – 7x)⁶;

7.      у = 3(1 – 4x);                               7) у = 2(4x + 1);

8.      у = cos(3x – 4);                            8) у = sin(5x – 7);

9.      у = 6/(5x – 7 )²;                            9) у = 4/(9x + 3)⁴;

     10. у = 4/sin²(10 – 5x).                        10) у = 3/cos²5x.